ARコーティングの多層膜化の効用　その３

今回は図１のような３層膜からなる構成を考える。前回の記事のMgF₂層とAl₂O₃層の間に、屈折率n=1.90のλ/2膜を挿入したものである。これまでと同様に４つの膜界面で反射複素振幅を\(\Phi_{1}\)、\(\Phi_{2}\)、\(\Phi_{3}\)、\(\Phi_{4}\)とすると、

　　
$$\Phi_{1}= r_{1} \exp(-i0) = \frac{1-1.38}{1+1.38} \exp(-i0) = 0.160 \exp(-i \pi)$$
$$\Phi_{2}= r_{2} \exp(-i \pi) = \frac{1.38-1.90}{1.38+1.90} \exp(-i \pi) = 0.159 \exp(-i 2\pi)$$
$$\Phi_{3}= r_{3} \exp(-i 3\pi) = \frac{1.90-1.68}{1.90+1.68} \exp(-i 3\pi) = 0.080 \exp(-i 3\pi)$$
$$\Phi_{4}= r_{4} \exp(-i 4\pi) = \frac{1.68-1.51}{1.68+1.51} \exp(-i 4\pi) = 0.035 \exp(-i 4\pi)$$

となり、ベクトル図では図１（右）のようになる。\(\Phi_{1}\)と\(\Phi_{2}\)、（\(\Phi_{3}\)と\(\Phi_{4}\)）は絶対値が近く、互いに位相が逆転しているため、互いに波面を打ち消し合っている構成である。大きな振幅をもち、互いに逆位相の\(\Phi_{1}\)、\(\Phi_{2}\)と、小さな振幅を持つ互いに逆位相の\(\Phi_{3}\)、\(\Phi_{4}\)の存在がARが機能する波長帯域を広げるポイントになっている。

図１：３層の膜の模式図（左）およびそのベクトル図（右）

ここで、設計波長\(\lambda\)から\(\Delta \lambda\)ずれた波長\(\lambda+\Delta \lambda\)を考える。この時、位相は\(-2\pi\frac{\Delta\lambda}{\lambda}\)だけずれることになるため、反射位相振幅は、

　　
$$\Phi_{1}\left(\lambda+\Delta\lambda\right) = 0.160 \exp(-i \pi)$$
$$\Phi_{2}\left(\lambda+\Delta\lambda\right) = 0.159 \exp\left(-i \pi \left(1+\frac{1}{1+\Delta\lambda / \lambda}\right)\right)$$
$$\Phi_{3}\left(\lambda+\Delta\lambda\right) = 0.080 \exp\left(-i \pi \frac{3}{1+\Delta\lambda / \lambda}\right)$$
$$\Phi_{4}\left(\frac{\Delta\lambda}{\lambda}\right) = 0.035 \exp\left(-i \pi \frac{4}{1+\Delta\lambda / \lambda}\right)$$

となり、ベクトル図上の各界面から反射した波面の複素振幅ベクトルが、もはや\(0^\circ\)や\(180^\circ\)からはずれることになる。図2には中心波長から20％ずれた場合と40%ずれた場合のベクトル図を示した。20%ずれた場合においては、中心波長と異なることで\(\Phi_{2}\)がわずかに回転するが、回転角がそれほど大きくないためにX方向の成分は大きく減少することなく、依然として\(\Phi_{1}\)と十分な打ち消しが発生している（この効果をより高めるためには、\(|\Phi_{1}| < |\Phi_{2}|\)としておくのが良い）。一方で\(\Phi_{2}\)の回転によって発生したY方向の成分については、無視できない量になるが、これは３番目に振幅が大きい\(\Phi_{3}\)が\(\Phi_{2}\)よりも大きく回転することで、打ち消しの効果が発生する。

図２：中心波長から20%ずれた場合（左）および40%ずれた場合（右）のベクトル図

続いて40%ずれた場合であるが、\(\Phi_{2}\)がより大きく回転するために、\(\Phi_{2}\)のX方向の成分のみでの\(\Phi_{1}\)の打消しはもはや不可能になる。しかしながら、今度は\(\Phi_{3}\)がさらに大きく回転し、+X方向に近い方向に向くことで、合わせて\(\Phi_{1}\)の打消しを実現する。Y方向成分については、\(\Phi_{4}\)が第２象限に大きく回り込んで+Y成分が発生することで、\(\Phi_{3}\)のY方向成分が減少した分を補っている。このように、\(\Phi_{2}\)の回転によって発生した\(\Phi_{1}\)ベクトルとの差分を\(\Phi_{3}\)と\(\Phi_{4}\)の方向が次々に変化することで、巧みに打ち消す構成になっているのである。同膜の分光反射率特性は図3に示す。反射率特性には、２つの極小値ができることが多く、その曲線の形状から、このタイプのコートはWコートと呼ばれる。単層膜やVコートに比べてより広い範囲でAR特性が実現されていることが分かる。

 

図３：フッ化マグネシウム・酸化アルミニウムによる多層膜コーティングの反射率特性

 

　　

このように、ARコーティングを多層膜化することによって、①反射率をより理想的（R=0%）に近づける、②AR特性を発揮する波長域を広げる（広帯域化する）という２つの効果を得ることができる。