ARコーティングの多層膜化の効用　その１

本記事を読み進めるにあたり、「ARコーティングの原理」について復習されたい方は以下の記事を合わせてご参照いただきたい。
消えた波面の行方（ARコーティングとλ/4膜）　その１
消えた波面の行方（ARコーティングとλ/4膜）　その２

まず、多層膜コーティングの原理の理解の助けとなる「ベクトル図法」について説明する。ベクトル図法を用いると、薄膜の界面で発生する波面（複素振幅）を視覚的に表現することが可能になる。いま、複素振幅として\(\Phi=A \exp(-i \theta)\)を考え、それを複素平面内でのベクトルとして表現すると、図１のようになる。

図１：ベクトル図法

入射光の振幅を1とした場合は界面での反射波の複素振幅は常に\(|A| \leq 1\)である。また、\(0 \leq \theta \leq 360^\circ (0 \leq \theta \leq 2 \pi) \)である。

ベクトル図法を使ったARコーティングの特性把握を単層膜の場合について、追って説明する。単層膜の界面は裏表2層あり、\(n_{f}\)は薄膜の屈折率 \(n_{g}\)はガラス基板とすると（\(1 < n_{f} < n_{g}\)）、界面からの反射複素振幅は以下の通りである。

　　
$$\Phi_{表}= r_{表} \exp(-i0) = |r_{表}| \exp(-i \pi)$$
$$\Phi_{裏}= r_{裏} \exp[-i2\pi \left(\left(\frac{2n_{f}t}{\lambda}\right) +1\right)] = |r_{裏}| \exp(-i 2\pi)$$

ここでは界面での振幅透過率は十分小さい（\(t \ll 1\)）として無視している。また、膜厚は\(t = \frac{t}{4n_{f}}\) （λ/4膜）としてある。(1)と(2)をベクトル図表に表現したものを図２に示す。波の足し合わせの原理からすると、\(\Phi_{表}\)と\(\Phi_{裏}\)をベクトル図中で足し合わせたものが合成反射波の複素振幅になる。

図２：λ/4の単層膜の模式図（左）およびベクトル図（右）

図２の場合、表面と裏面の反射波の位相はそれぞれ\(180^\circ(=\pi)\)と\(360^\circ(=2\pi)\)なので、ベクトルは互いに逆方向に向いている。よって、\(|r_{表}|=|r_{裏}|\)の時は合成ベクトルがゼロとなり、反射率はゼロ（つまりは完全なARコーティング）になる。これは、単層膜の記事で説明した振幅条件と同じ結果である。また、\(r_{表} \neq r_{裏}\)の時は完全にベクトル同士が打ち消すことはできないので、わずかに反射が残ることが理解できる。このように、ベクトル図法を用いることで膜界面で発生するすべての複素振幅を示すベクトルを図中にプロットすることができ、それらの合成を考えることで、ARの特性を把握できる。

単層膜の記事で得られたように、理論的には位相条件と振幅条件を満たす\(n_{f}=\sqrt{n_g}\)のλ/4膜を施せば、理想的なARコーティングが実現できるわけであるが、現実はそう甘くはない。よく使われるガラスであるN-BK7（\(n_{g}=1.51\)）に対して、上記の条件で必要な膜の屈折率を計算すると\(n_{f}=1.23\)となる。ところがよく知られている膜材でこの屈折率を示すものは知られていない。最も近いものでも、フッ化化マグネシウム（MgF₂、n=1.38）であり、\(r_{表}=-0.160\)、\(r_{裏}=-0.045\)となって、\(R = |r_{表} – r_{裏}|^{2} \sim 1.3 \%\)の残存反射が現れる。つまり、理論的な解はあってもそれを現実世界で実現する手立てがないのである。（しかしながら、別稿にあるように、近年では膜内に空乏を設けた膜材をガラス状に形成することによって、バルク材では実現できない低い実行屈折率を持つ膜材が実現できている）。

このような背景から、ARコーティングには複数の材料を用いた「多層膜」が主に用いられている。次回は多層膜について考察を深めよう。