光学に関わる物理数学：近似（２）

テイラー展開(Taylor expansion)

光学に関わる物理数学：近似（１）で取り扱ったような多項式でも冪級数でもない関数の近似はどのようにしたらよいのだろうか。実はテイラー展開という手法により、滑らかな関数(少なくとも有限回微分可能)であれば近似を行うことが出来る。

整数\(n\geq0\)に対して、関数\(f(x)\)が閉区間\([x_0, x]\)上で\(n\)回連続的微分可能(つまり\(C^n\)級)、かつ開区間\((x_0, x)\)上で\(n+1\)回微分可能なとき、関数\(f(x)\)はテイラーの定理により次の形に表すことが出来る：

\begin{align}
f(x) &= \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\frac{d^k f}{dx^k}(x_0)\,(x-x_0)^k + \int_{x_0}^x \frac{d^{n+1}f}{dx^{n+1}}(t)\, \frac{(x-t)^n}{n!}\, dt \tag{1}\\
&= f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!}f^{\prime \prime}(x_0)(x-x_0)^2 + \frac{1}{3!}f^{\prime \prime \prime}(x_0)(x-x_0)^3 + \cdots + \int_{x_0}^x \frac{d^{n+1}f}{dx^{n+1}}(t)\, \frac{(x-t)^n}{n!}\, dt　\tag{2}
\end{align}

（１）式の右辺の第２項は「ラグランジュ剰余項(Lagrange remainder)」と呼ばれ、\(x \rightarrow x_0\)の極限で\(0\)に収束する\(x\)の関数である。ラグランジュ剰余項を除いた部分は「\(n\)次のテイラー多項式」と呼ばれ、\(x\)が\(x_0\)に近い場合は\(f(x)\)のよい近似となる。\(n \rightarrow \infty\)の極限で（１）式は無限和となり、特にテイラー級数と呼ばれる。関数をテイラー多項式/級数の形で表現することを「テイラー展開」と呼ぶ。

以下に前回の記事で扱った多項式、三角関数と冪級数のテイラー展開の例を示す。実は前回の記事で取り扱った冪級数は（１）式において\(x_0=0\)としたテイラー級数として求められたものである。ほとんどの滑らかな関数はテイラー級数で表現することが出来る。

\begin{align}
&3+2x+5x^2-x^3 = 3+2 x+5 x^2-x^3 & (x_0 = \text{(任意の値)})\\
&\sin{x} = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!} + \cdots & (x_0 = 0)\\
&\cos{x} = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!} + \cdots & (x_0 = 0)\\
&\tan{x} = x+\frac{2 x^3}{3!}+\frac{16 x^5}{5!}+\frac{272 x^7}{7!}+\frac{7936 x^9}{9!} + \cdots & (x_0 = 0)\\
&e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}+\frac{x^9}
{9!}+\frac{x^{10}}{10!} + \cdots & (x_0 = 0)\\
&a^x = 1+x \log (a)+\frac{x^2 \log ^2(a)}{2!}+\frac{x^3 \log ^3(a)}{3!}+\frac{x^4 \log ^4(a)}{4!}+\frac{x^5 \log
^5(a)}{5!} + \cdots & (x_0 = 0)\\
\end{align}