光学に関わる物理数学：近似（１）

多項式(Polynomial)の近似

例えば、\(x\)に対する次の関数を近似することを考える：

\begin{equation}
f(x)=3+2x+5x^2-x^3
\end{equation}

このような有限個の\(c_n x^n\)の和で表される数式を「多項式」という（多項式：\(\sum_{n=0}^N C_n x^n\) （整数\(N\geq0\)））。多項式の近似は直感的にも分かりやすい。例えば\(|x| \ll 1\)の場合、\(|x^3| \ll |x^2| \ll |x|\)であるため、\(x^2\) 、\(x^3\)の寄与を\(x\)に対して十分小さいと見なし、\(x\)のみを残すことが出来る。すなわち

\begin{equation}
f(x) \approx 3+2x
\end{equation}

と近似することが出来る。
逆に\(1 \ll |x|\)の場合は、\(|x| \ll |x^2| \ll |x^3|\)であるため、\(3\)、 \(x\)、 \(x^2\)の寄与を\(x^3\)に対して十分小さいと見なし、\(x^3\)のみを残すことが出来る。すなわち

\begin{equation}
f(x) \approx -x^3
\end{equation}

と近似することが出来る。

ただし、これはあくまで近似の一例であり、実際には\(|x|\)の大きさ、係数の大きさ、近似で必要な精度、その他の要求により、どの項を残し、どの項を無視するのかを決める必要がある。

冪（べき）級数(Power series)を使った近似

三角関数や指数関数などを近似する場合は、しばしばそれらの冪級数が用いられる。冪級数は多項式と似ているが、無限個の\(c_n x^n\)の和で表される数式である（冪級数：\(\sum_{n=0}^\infty C_n x^n\)）。例えば、\(\sin{\theta}\)、\(e^x\)は冪級数として次のように無限項の和の形で表すことが出来る：

\begin{gather}
\sin{x} = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots \label{sin1stOrder}\\
e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots\label{exp1stOrder}
\end{gather}

関数を冪級数で表すことで、多項式の場合と同様の近似を行うことが出来る。すなわち、\(|x| \ll 1\)の場合は、\(|x^{k+1}| \ll |x^k|\)であるため、\(x^{k+1}\)の寄与を\(x^k\)に対して十分小さいと見なし、\(x^k\)のみを残すことが出来る。これにより

\begin{gather}
\sin{x} \approx x \\
e^x \approx 1+x
\end{gather}

と近似することが出来る。ちなみに、\(\sin{x} \approx x\)は光学の近軸近似の式である。ここで再び注意しておくが、これはあくまで近似の一例であり、場合によって\(\sin{x} \approx x-\frac{x^3}{3!}\)や\(e^x \approx 1\)などと近似することもある。

冪級数の近似が多項式の場合と異なるのは、\(1 \ll |x|\)の場合である。このとき、\(|x^k| \ll |x^{k+1}|\)であるため、より次数の高い項の寄与が大きいことになる。しかしながら、冪級数は無限に高い次数の項まで和が取られているため、明示的に有限項を用いて近似することは叶わない。