アッベ数の本質（２）

近軸理論によれば、薄肉レンズの焦点距離fは、以下の式（別記事にて回折）によって表すことができる。

$$\frac{1}{f(\lambda)} = \left(n(\lambda)-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)$$

ここで\(R_{1}\)と\(R_{2}\)は、レンズの表面と裏面の曲率半径である。ここでは屈折率、すなわち焦点距離には波長依存性があることを強く明示するために、わざわざ\(f(\lambda)\)、\(n(\lambda)\)という表現を用いていることに注意されたい。今、３つの波長\(\lambda_{a}\)、\(\lambda_{b}\)、\(\lambda_{c}\)（ただし\(\lambda_{a} < \lambda_{b} < \lambda_{c}\)）を考えると、 $$\frac{1}{f(\lambda_{a})} = \left(n(\lambda_{a})-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)$$ $$\frac{1}{f(\lambda_{b})} = \left(n(\lambda_{b})-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)$$ $$\frac{1}{f(\lambda_{c})} = \left(n(\lambda_{c})-1\right)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right)$$ が当然成り立つ。ここで、波長\(\lambda_{a}\)と\(\lambda_{c}\)での焦点距離の差\(\Delta f_{ca}\)を考える。上記の３つの式を用いると、 $$\Delta f_{ca} = f(\lambda_{c}) - f(\lambda_{a}) = \left(\frac{1}{n(\lambda_{c})-1}-\frac{1}{n(\lambda_{a})-1}\right)\left(n(\lambda_{b})-1\right)f(\lambda_{b})$$ となる。さらに、 $$n(\lambda_{a}) = n(\lambda_{b}) + \Delta n_{a}$$ $$n(\lambda_{c}) = n(\lambda_{b}) - \Delta n_{c}$$ と置き直し、式を変形すると、 $$\frac{\Delta f_{ca}}{f(\lambda_{b})} = \frac{n(\lambda_{a}) - n(\lambda_{c})}{\left(n(\lambda_{b})-1\right)^{2} + \left(n(\lambda_{b})-1\right)\left(\Delta n_{a} - \Delta n_{c}\right) - \Delta n_{a}\Delta n_{c}}\left(n(\lambda_{b})-1\right)$$ となるが、\(\Delta n_{a} \sim \Delta n_{c} \ll n(\lambda_{b})\)とできるので、分母の第二、代三項は無視することができ、結局のところ $$\frac{\Delta f_{ca}}{f(\lambda_{b})} = \frac{n(\lambda_{a}) - n(\lambda_{c})}{n(\lambda_{b})-1}$$ が得られる。【注：ここでは厳密なテイラー展開を行っていないことが気になる読者の方もおられるかもしれないが、計算結果は等しくなることは付け加えておく。厳密なテイラー展開は光学に関わる物理数学：近似（３）にて。】

この式は（分母と分子は逆であるものの）アッベ数そのものである。左辺の\(\Delta f_{ca}\)は波長\(\lambda_{a}\)と\(\lambda_{c}\)の焦点距離の差（＝軸上色収差）を、平均的な焦点距離\(f(\lambda_{b})\)で割ったものになっているので、アッベ数とは「その硝材における単位焦点距離あたりの軸上色収差（の逆数）」であることがわかる。アッベ数は屈折率のみによって決まる量で、硝材が決まれば一意に決まる。したがって、単レンズの単焦点距離あたりの軸上色収差量（＝比色収差量）は、硝材を指定すれば、近軸かつ薄肉レンズにおいては、そのレンズ形状によらず決まってしまう、ということを意味している。

　　
オハラ社のサイトには、同社が提供している光学ガラスのマップが示されている。ここで、縦軸はd線（587.56nm）での屈折率で、横軸がd線でのアッベ数である。アッベ数は非常に広く分布しており、おおよそ15～95の値をとる。このことから、レンズの比色収差量は硝材の違いによって6.7%（=1/15）～1.1%（=1/95）まで変化することが分かる。