Annular Zernike 多項式（１）

屈折望遠鏡など中央掩蔽が存在しない光学系であれば、その波面誤差を表現するには単位円内で定義されるZernike多項式が最も自然である。しかし、現代の大型望遠鏡の多くが採用するカセグレン型の反射望遠鏡など、副鏡による中央掩蔽が存在する光学系では、波面マップが輪帯となるため通常のZernike多項式とは定義域が整合せず、直行性の喪失など様々な問題が発生する。これを解消するために考案されたのが、中央掩蔽率\(\epsilon\)の輪帯領域を定義域とするAnnular Zernike多項式（”Annular”＝「輪帯」）である。

 

図１：中央掩蔽率\(\epsilon\)の2次元単位輪帯。白部が中央掩蔽率\(\epsilon\)の2次元単位輪帯であり、Annular Zernike多項式の定義域である。

 

Annular Zernike多項式を定義する方法はいくつか存在するが、まずはコレスキー分解を用いる以下の定義を紹介しよう^[1]:

\(0 \leq \lvert m \rvert \leq n\)なる整数組\((n, m)\)、および中央掩蔽率\(\epsilon \; (0 \leq \epsilon < 1)\)に対し、Annular Zernike多項式\(Z_n^m(\rho, \varphi; \epsilon)\)は、定義域(動径: \(\epsilon \leq \rho \leq 1\), 方位角: \(0 \leq \varphi < 2\pi\))において以下で定められる: $$\begin{align} Z_n^m(\rho, \varphi; \epsilon) &= N_n^m R_n^{\lvert m \rvert}(\rho; \epsilon) \begin{cases} \sin(\lvert m \rvert \varphi) & (m < 0)\\ \cos(m \varphi) & (m \geq 0) \end{cases}\\ N_n^m &= \sqrt{\frac{2(n+1)}{1+\delta_{m,0}}} \end{align}$$ ただし、\(\epsilon\)は中央の掩蔽率で\(\epsilon = \frac{\text{輪帯内径}}{\text{輪帯外径}}\)で定義される。規格化定数\(N_n^m\)は、輪帯領域内のRMSが1となるように決めている。

動径多項式\(R_n^{\lvert m \rvert}(\rho; \epsilon)\)は、通常の円形Zernike動径多項式\(R_{n’}^{\lvert m \rvert}(\rho)\)の線形結合として次で与えられる:

$$\begin{align}
R_n^{\lvert m \rvert}(\rho; \epsilon) &=
\begin{cases}
\sum_{\substack{n’=\lvert m \rvert \\ n’-\lvert m \rvert \text{が偶数}}}^{n} M_{n, n’}^{\lvert m \rvert}(\epsilon) R_{n’}^{\lvert m \rvert}(\rho) & n-\lvert m \rvert \text{が偶数のとき}\\
0 & n-\lvert m \rvert \text{が奇数のとき}
\end{cases}\\
\tilde{R}_i^{\lvert m \rvert}(\rho; \epsilon) &= \sum_{j=1}^{i} \tilde{M}_{i, j}^{\lvert m \rvert}(\epsilon) \tilde{R}_j^{\lvert m \rvert}(\rho) \quad (\text{インデックス変換: }n = \lvert m \rvert + 2(i-1))
\end{align}$$

ここで、\(R_{n}^{\lvert m \rvert}\)や\(M_{n,n’}^{\lvert m \rvert}\)は多項式の動径次数を直接添え字としたものであり、チルダを付した\(\tilde{R}_i^{\lvert m \rvert}\)や\(\tilde{M}^{\lvert m \rvert}_{i,j}\)は、インデックス変換\(n = \lvert m \rvert + 2(i-1)\)を用いて、行列やベクトルの連続した行・列番号(1始まり)で再定義した要素を表す。このインデックス変換により\(n – \lvert m \rvert\)が偶数となる項のみが抽出されるため、上式の2行目においては偶奇の場合分けが不要となっている。

円形Zernike動径多項式\(R_{n’}^{\lvert m \rvert}(\rho)\), \(\tilde{R}_j^{\lvert m \rvert}(\rho)\)は、その展開係数\(w_{n’, s}^{\lvert m \rvert}\), \(\tilde{w}_{j, s}^{\lvert m \rvert}\)を用いて以下で与えられるのだった:

$$\begin{align}
R_{n’}^{\lvert m \rvert}(\rho) &= \sum_{s=0}^{\frac{n’-\lvert m \rvert}{2}} w_{n’, s}^{\lvert m \rvert} \rho^{n’-2s}\\
\tilde{R}_j^{\lvert m \rvert}(\rho) &= \sum_{s=0}^{j-1} \tilde{w}_{j, s}^{\lvert m \rvert} \rho^{\lvert m \rvert + 2(j-1-s)}\\
w_{n’, s}^{\lvert m \rvert} &= \frac{(-1)^s (n’-s)!}{s! \left(\frac{n’+\lvert m \rvert}{2}-s\right)! \left(\frac{n’-\lvert m \rvert}{2}-s\right)!}\\
\tilde{w}_{j, s}^{\lvert m \rvert} &= \frac{(-1)^s \left(\lvert m \rvert + 2(j – 1) – s\right)!}{s! (j – 1 + \lvert m \rvert – s)! (j – 1 – s)!}
\end{align}$$

\(M_{n, n’}^{\lvert m \rvert}(\epsilon)\)および\(\tilde{M}_{i,j}^{\lvert m \rvert}(\epsilon)\)は、円形Zernike多項式の輪帯上でのグラム行列(Gram Matrix)\(\tilde{\mathbf{G}}^{\lvert m \rvert}(\epsilon)\)から定まる。

グラム行列\(\tilde{\mathbf{G}}\)を\(\tilde{\mathbf{G}}=\tilde{\mathbf{L}}\tilde{\mathbf{L}}^T\)とコレスキー分解すると、\(\tilde{\mathbf{L}}^{-1}\tilde{\mathbf{G}}(\tilde{\mathbf{L}}^{-1})^T=\mathbf{I}\)が成り立つため、下三角行列\(\tilde{\mathbf{L}}^{-1}\)を基底ベクトルに作用させることで輪帯上での直交化が達成される。

$$\begin{align}
\tilde{\mathbf{G}}^{\lvert m \rvert}(\epsilon) &= \tilde{\mathbf{L}}^{\lvert m \rvert} \left(\tilde{\mathbf{L}}^{\lvert m \rvert}\right)^T\\
M_{n, n’}^{\lvert m \rvert}(\epsilon) &= \frac{1}{\sqrt{n+1}} \left[ \left(\tilde{\mathbf{L}}^{\lvert m \rvert}\right)^{-1} \right]_{\frac{n-\lvert m \rvert}{2}+1, \frac{n’-\lvert m \rvert}{2}+1}\\
\tilde{M}_{i, j}^{\lvert m \rvert}(\epsilon) &= \frac{1}{\sqrt{\lvert m \rvert + 2i – 1}} \left[ \left(\tilde{\mathbf{L}}^{\lvert m \rvert}\right)^{-1} \right]_{i, j}
\end{align}$$

このとき、行列要素\(\tilde{G}_{i, j}^{\lvert m \rvert}(\epsilon)\)は、輪帯領域における円形Zernike多項式の内積として定義される:

$$\begin{align}
\tilde{G}_{i, j}^{\lvert m \rvert}(\epsilon) &= \frac{2}{1-\epsilon^2} \int_{\epsilon}^{1} \tilde{R}_i^{\lvert m \rvert}(\rho) \tilde{R}_j^{\lvert m \rvert}(\rho) \rho \, d\rho\\
&= \frac{2}{1-\epsilon^2} \sum_{s=0}^{i-1} \sum_{t=0}^{j-1} \left[ \tilde{w}_{i, s}^{\lvert m \rvert} \tilde{w}_{j, t}^{\lvert m \rvert} \cdot \frac{1 – \epsilon^{2(i + j – s – t + \lvert m \rvert – 1)}}{2(i + j – s – t + \lvert m \rvert – 1)} \right]
\end{align}$$

コレスキー分解の方法では、このようにAnnular Zernike多項式が定義される。何故このように定義されるのか、シュミットの直交化を用いた定義との関係性、その具体的な表式と性質はどのようなものなのか、実際の中央掩蔽のある光学系においての実用上の性質などは、次回以降に見ていくことにしよう。

^[1] シュミットの直交化を用いる定義が物理的には明快で一般的かと思うが、各項を求める際に逐一再帰計算を行う必要があるため、数学的なスマートさという観点から、まずは逐一再帰計算に依存しないコレスキー分解の方法を紹介する。