Annular Zernike 多項式（１）

屈折望遠鏡など中央掩蔽が存在しない光学系であれば、その波面誤差を表現するには単位円内で定義されるZernike多項式が最も自然である。しかし、現代の大型望遠鏡の多くが採用するカセグレン型の反射望遠鏡など、副鏡による中央掩蔽が存在する光学系では、波面マップが輪帯となるため通常のZernike多項式とは定義域が整合せず、これから説明する様々な問題が発生する。それを解消するために考案されたのがAnnular Zernike多項式である。”Annular”とは日本語では「輪帯」のことである。Annular Zernike多項式はZernike多項式とは異なり、定義域が中央掩蔽のある輪帯領域となる。そのため中央掩蔽のある光学系と定義域が整合し、その波面誤差を表現するのに都合が良い。

 

図１：中央掩蔽率\(\epsilon\)の2次元単位輪帯

 

Annular Zernike多項式の定義は以下で与えられる。

\(0 \leq \lvert m \rvert \leq n\)なる整数組\((n, m)\)、および中央掩蔽率\(\epsilon\) (\(0 \leq \epsilon < 1\))に対し、Annular Zernike多項式\(Z_n^m(\rho, \varphi; \epsilon)\)は、定義域(動径: \(\epsilon \leq \rho \leq 1\), 方位角: \(0 \leq \varphi \leq 2\pi\))において以下で定められる: $$\begin{align} Z_n^m(\rho, \varphi; \epsilon) &= N_n^m R_n^{\lvert m \rvert}(\rho; \epsilon) \begin{cases} \sin(\lvert m \rvert \varphi) & (m < 0)\\ \cos(m \varphi) & (m \geq 0) \end{cases}\\ N_n^m &= \sqrt{\frac{2(n+1)}{1+\delta_{m,0}}} \end{align}$$ ただし、\(\epsilon\)は中央の掩蔽率で\(\epsilon = \frac{\text{輪帯内径}}{\text{輪帯外径}}\)で定義される。 動径多項式\(R_n^{\lvert m \rvert}(\rho; \epsilon)\)は通常の円形Zernike動径多項式\(R_{n'}^{\lvert m \rvert}(\rho)\)の線形結合として次で与えられる: $$\begin{align} R_n^{\lvert m \rvert}(\rho; \epsilon) &= \begin{cases} \sum_{\substack{n'=\lvert m \rvert \\ n'-\lvert m \rvert \text{が偶数}}}^{n} M_{n, n'}^{\lvert m \rvert}(\epsilon) R_{n'}^{\lvert m \rvert}(\rho) & n-\lvert m \rvert \text{が偶数のとき}\\ 0 & n-\lvert m \rvert \text{が奇数のとき} \end{cases}\\ &= \begin{cases} \sum_{i=1}^{\frac{n-\lvert m \rvert}{2}+1} M_{\frac{n-\lvert m \rvert}{2}+1, i}^{\lvert m \rvert}(\epsilon) R_{\lvert m \rvert + 2(i-1)}^{\lvert m \rvert}(\rho) & n-\lvert m \rvert \text{が偶数のとき}\\ 0 & n-\lvert m \rvert \text{が奇数のとき} \end{cases} \end{align}$$ ただし\([\dots]_{n,n'}\)は、行列において次数\(n\)と\(n'\)に対応する行と列の要素を表し、行番号・列番号を直接表すものではないことに注意が必要である。一方\([\dots]_{i,j}\)は行番号・列番号を直接表している。 ここで、\(R_{n'}^{\lvert m \rvert}(\rho)\)は円形Zernike動径多項式であり、その展開係数\(w_{n', s}^{\lvert m \rvert}\)を用いて以下で与えられるのだった: $$\begin{align} R_{n'}^{\lvert m \rvert}(\rho) &= \sum_{s=0}^{\frac{n'-\lvert m \rvert}{2}} w_{n', s}^{\lvert m \rvert} \rho^{n'-2s}\\ w_{n', s}^{\lvert m \rvert} &= \frac{(-1)^s (n'-s)!}{s! \left(\frac{n'+\lvert m \rvert}{2}-s\right)! \left(\frac{n'-\lvert m \rvert}{2}-s\right)!} \end{align}$$ \(M_{n, n'}^{\lvert m \rvert}(\epsilon)\)は、円形Zernike多項式の輪帯上でのグラム行列(Gram Matrix)\(\mathbf{G}^{\lvert m \rvert}(\epsilon)\)から定まる。数学の詳細は割愛するが、\(M_{n, n'}^{\lvert m \rvert}(\epsilon)\)はグラム行列をコレスキー分解して得られる下三角行列\(\mathbf{L}^{\lvert m \rvert}\)の逆行列の要素として求まる: $$\begin{align} &\mathbf{G}^{\lvert m \rvert}(\epsilon) = \mathbf{L}^{\lvert m \rvert} \left(\mathbf{L}^{\lvert m \rvert}\right)^T\\ &M_{n, n'}^{\lvert m \rvert}(\epsilon) = \frac{1}{\sqrt{n+1}} \left[ \left(\mathbf{L}^{\lvert m \rvert}\right)^{-1} \right]_{n, n'}\\ &M_{i, j}^{\lvert m \rvert}(\epsilon) = \frac{1}{\sqrt{\lvert m \rvert + 2i - 1}} \left[ \left(\mathbf{L}^{\lvert m \rvert}\right)^{-1} \right]_{i, j} \end{align}$$ このとき、グラム行列の各要素\(G_{n_1, n_2}^{\lvert m \rvert}(\epsilon)\)(ただし\(n_1, n_2 \geq \lvert m \rvert\)かつ差が偶数)は、以下の表式で与えられる: $$\begin{align} &G_{n_1, n_2}^{\lvert m \rvert}(\epsilon) = \frac{2}{1-\epsilon^2} \sum_{s=0}^{\frac{n_1-\lvert m \rvert}{2}} \sum_{t=0}^{\frac{n_2-\lvert m \rvert}{2}} \left[ w_{n_1, s}^{\lvert m \rvert} w_{n_2, t}^{\lvert m \rvert} \cdot \frac{1 - \epsilon^{n_1 + n_2 - 2s - 2t + 2}}{n_1 + n_2 - 2s - 2t + 2} \right]\\ &G_{i, j}^{\lvert m \rvert}(\epsilon) = \frac{2}{1-\epsilon^2} \sum_{s=0}^{i-1} \sum_{t=0}^{j-1} \left[ w_{\lvert m \rvert+2i-2, \, s}^{\lvert m \rvert} w_{\lvert m \rvert+2j-2, \, t}^{\lvert m \rvert} \cdot \frac{1 - \epsilon^{2(i + j - s - t + \lvert m \rvert - 1)}}{2(i + j - s - t + \lvert m \rvert - 1)} \right] \end{align}$$ これらによって、Annular Zernike多項式は定義される。計算の詳細は大変複雑なものであるが、重要な点は、Annular Zernike多項式の定義において再帰計算は一切必要なく、各項が解析的に一意に定まるという点である。Annular Zernike多項式が数学的に何故このように定義されるのか、その具体的な表式と性質はどのようなものなのか、実際の中央掩蔽のある光学系においての実用上の性質などは、次回以降に見ていくことにしよう。