積分球：積分球の明るさ２

積分球：積分球の明るさ１では、積分球内部での多重反射により、内壁に定在する光束量\(E_{tot}\)が

$$E_{tot} = \frac{I_0}{1-R(1-f)}$$

となることを導いた。今回は、この結果を用いて積分球から取り出す光の明るさを計算する。

一言で「明るさ」というといろんな表現の仕方があるが、積分球を光源と考えたときは単位面積、単位立体角あたりのエネルギー流である放射輝度(nit)を用いるのが、種光源と比較する上でも空間的な拡散と方位的な拡散の両方の効率を取り扱えるため適当である。それを\(B_{out}\)とする。積分球の内壁に到達したエネルギーのうち、球殻面積\(A\)に対する射出開口面積\(s\)の比の分だけが、積分球から射出されるので、光束量は\(I_{out}=\frac{s}{A}E_{tot}\)となる。また、積分球からの射出光はランバート分布と考えてよいため、\(I_{out}=\pi s B_{out}\)が成り立つ。よって、

$$B_{out} = \frac{1}{\pi A} \frac{I_0}{1-R(1-f)}$$

が成り立つ。今、種光源もランバート分布であると仮定すると、\(I_0=\pi s_0 B_0\)(\(B_0\)は種光源の放射輝度)であるので、結局

$$\frac{B_{out}}{B_0} = \frac{s_0}{A} \frac{1}{1-R(1-f)} = \frac{f}{(x+1)(1-R(1-f))}$$

となる。これが欲しかった式である。ここで、\(x=s/s_0\)としてある。

これらの式から、積分球の表面積\(A\)が小さいほど(サイズが小さいほど)、反射率\(R\)が大きいほど、放射輝度が大きくなるという結論が得られる。壁面の反射率が\(R=1\)の理想的な積分球を考えると、

$$\frac{B_{out}}{B_0} = \frac{s_0}{s_0+s}$$

となり、これが得られる輝度の最大値である。\(s_0=s\)の場合は種光源の50%、\(s\to0\)によって種光源に近い輝度が得られることになる（\(R=1\)であっても種光源と輝度が同じにならないのは、入射開口から光が漏れ出るためである）。図２〜図４は上式のヒートマップである。横軸に\(x(=s/s_0)\)を縦軸に\(R\)をとっている。３つの図は、それぞれ\(f=0.01\)、\(f=0.03\)、\(f=0.1\)の場合に対応している。また、図中に\(B_{out}/B_0 = 0.1, 0.5, 0.75, 0.9\)の等高線を描いている。

 

図２：輝度比の計算結果（\(f=0.01\)の場合）

 

図３：輝度比の計算結果（\(f=0.03\)の場合）

 

図４：輝度比の計算結果（\(f=0.1\)の場合）

内部反射率\(R\)を大きくしかつ、射出部の開口面積\(s\)を小さくするほど高い輝度比が得られることは図からも読み取れる。また、\(f\)が大きいほど輝度比が高い領域が広がっているが、これは積分球サイズが小さくなる(\(A\)が小さくなる)ことに対応している。\(A\)が小さいとより閉じ込められるエネルギーの密度が高くなるため、結果的に輝度が大きくなる、と考えればよい。なお、例えば\(f=0.01\)で放射輝度比50%以上を達成するためには、\(R>0.99\)かつ\(x<1\)が必要であり、\(f=0.03\)で放射輝度比50%以上を達成するためには、\(R>0.97\)かつ\(x<1\)が必要である。\(f=0.1\)で放射輝度50%を達成するためにはおよそ\(R>0.91\)かつ\(x<1\)が必要である。実際の設計の実務においては、光学系において必要となる積分球から放出される開口サイズおよび明るさと利用できる積分球の反射率が分かれば、この図を使うことによって原理的な実現可能性を議論することができる。または、これらパラメータに要求される具体的な数値を得ることができる。

なお、ここで示した図は種光源がランバート分布であることを仮定していることに注意が必要である。ランバート分布より狭い指向性の高い分布を持つ場合は\(I_0 < \pi s_0 B_0(\theta=0)\)となるため、開口に対して\(\theta=0\)度で放射される光束の放射輝度比はここで得られた結果よりも小さくなる。逆に、より広い分布を持つ場合は、放射輝度比は大きくなる。