CGHを理解する：CGHの回折効率（６）

前回のおさらいとして、次数\(m\)における回折効率の式は以下のものであった。

$$|C_m|^2 = \frac{1}{s^2} \,\mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\pi m}{s} \right) \left[ \frac{\sin(\pi(l-m))}{\sin(\pi \frac{l-m}{s})} \right]^2$$

回折効率\(|C_m|^2\)の式に含まれるパラメーターは設計回折次数\(l\)、段数\(s\)、回折次数\(m\)の3つである。これらは全て整数であるため、式の分数部の分子は\(\sin(\pi(l-m)) = \sin(\pi \times \text{整数})\)となり\(0\)となる。これは、通常は回折効率が\(0\)となることを意味している。しかし、分母も同時に\(0\)となるときは事情が異なる。すなわち、\(l-m=ns \quad (n=0,\pm1,\pm2,\dots)\)の場合である。元の式に対して、\(l-m \rightarrow ns\)の極限を取ると、分数部分は\(\left(\frac{0}{0}\right)^2\)の不定形となるが、ロピタルの定理を用いて極限を求めることができる。すなわち

\(l-m = ns, \; n=0,\pm1, \pm2, \dots\)の場合

$$\begin{align}
|C_m|^2 &= \frac{1}{s^2} \,\mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\pi m}{s} \right) \left[ \frac{\sin(\pi(l-m))}{\sin(\pi \frac{l-m}{s})} \right]^2\\
&\rightarrow \frac{1}{s^2} \,\mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\pi m}{s} \right) \left[ \frac{\pi\cos(\pi ns)}{\frac{\pi}{s}\cos(\pi n)} \right]^2\\
&= \frac{1}{s^2} \,\mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\pi m}{s} \right) s^2 \left[ \frac{(-1)^{ns}}{(-1)^n} \right]^2\\
&= \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\pi m}{s} \right) \left[ (-1)^{2n(s-1)} \right]\\
&= \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\pi m}{s} \right)
\end{align}$$

それ以外の場合

$$\begin{align}
|C_m|^2 &= \frac{1}{s^2} \,\mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\pi m}{s} \right) \left[ \frac{\sin(\pi(l-m))}{\sin(\pi \frac{l-m}{s})} \right]^2\\
&= \frac{1}{s^2} \,\mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\pi m}{s} \right) \left[ \frac{0}{\sin(\pi \frac{l-m}{s})} \right]^2\\
&= 0
\end{align}$$

となり、まとめると以下となる。

$$|C_m|^2 =
\begin{cases}
\mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\pi m}{s} \right) & (m = l – ns, \; n=0, \pm1, \pm2, \dots) \\
0 & (\text{それ以外})
\end{cases}$$

設計回折次数\(l\)へ回折する光の他に、設計回折次数\(l\)から階調数\(s\)の整数倍だけ離れた次数\(l – ns\)にもゴースト回折光が出ることが分かる。それ以外の次数には、理論上ゴースト回折光は一切出ない。

では具体的な例で回折効率を計算してみよう。例えば\(l=1, s=4\)の場合、設計回折次数である\(m=1\)の回折効率は\(\mathrm{sinc}^2\left(\frac{\pi m}{s} \right) = \mathrm{sinc}^2 \left(\frac{\pi}{4} \right) \simeq 0.811\)である。いま\(s=4\)であるから、\(l\pm s = 1 \pm 4 = -3, 5\)次にもゴースト回折光が出るが、その回折効率はそれぞれ\(\mathrm{sinc}^2 \left( -\frac{3\pi}{4} \right)\simeq0.0901\)、\(\mathrm{sinc}^2 \left( \frac{5\pi}{4} \right)\simeq0.0324\)となる。階調数\(s=4\)の場合でも、設計次数\(l=1\)への回折効率80%以上を達成できることが分かる。次のグラフは設計回折次数\(l=1\)の場合に、横軸を階調数\(s\)、縦軸を設計回折次数\(m=1\)への回折効率としたグラフである。

 

図１：階調数\(s\)に対する回折効率の変化。階調数を増やすほど、設計次数への回折効率が1に近づくことが分かる。階調数\(s=6\)で回折効率90%に達し、階調数\(s=8\)で回折効率95%に達する。

 

一方、この振る舞いは解析的にも確認できる。上式において、\(s\rightarrow\infty\)の極限を取ると、次のようになる:

$$|C_m|^2 =
\begin{cases}
\mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\pi m}{s} \right) & m=l\\
\mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\pi m}{s} \right) & m=l-ns,\; n=\pm1, \pm2, \dots\\
0 & \text{それ以外}
\end{cases}$$

$$\rightarrow \begin{cases}
\mathrm{sinc}^2 \left( 0 \right) = 1 & m=l\\
\mathrm{sinc}^2 \left( -\pi n \right) = 0 & m=l-ns,\; n=\pm1, \pm2, \dots\\
0 & \text{それ以外}
\end{cases}$$

これは多階調位相型CGHの階調を無限大とした極限が、ブレーズド型CGHであることを示している。また、興味深いのは\(s=2\)とした場合である。このときは、多階調位相型CGHはバイナリ位相型CGHと一致する。そのため、上式から求まる回折効率はバイナリ位相型CGHの回折効率を正しく再現する。

$$|C_1|^2 = \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\pi}{2} \right) \simeq 0.405$$

これまで、CGHの開口面での複素振幅を用いて様々なCGHの回折効率を計算し、各種CGHで達成可能な回折効率が明らかになった。実際のCGHのアプリケーションでは回折効率は重要な要素であるため、ここまでの記事で紹介した手法を用いて回折効率をコントロールする。