CGHを理解する：CGHの回折効率（５）

前回の記事で紹介したブレーズド型CGHは、CGHの開口面での複素振幅を連続的に変化させることで原理的に回折効率100%を達成することができ、回折効率の点では理想のCGHである。しかしながら、必ずしも100%の回折効率が必要でない場合は、コストや製造性の観点から多階調位相型CGHという選択肢もある。また、近年発達がめざましい空間位相変調器(SLM)で波面を制御する場合は多階調位相型CGHと見なすことが出来るため、ここでの議論が適用できる。

多階調位相型CGHは開口面での複素振幅を連続的に変化させるのではなく、段数\(s\)の階段形状で近似したものである。段数\(s=4\)の場合の多階調位相型CGHの開口面での複素振幅を以下に示す:

 

図１：多階調位相型CGHの開口面での位相分布\(\phi(x’)\)と複素振幅\(A(x’)\)。黒点線は回折効率100%のブレーズド型CGHの複素振幅を表す。多階調位相型CGHの位相分布はブレーズド型CGHの位相分布を階段形状で近似したものであることが分かる。この例の場合は、段数\(s=4\)で近似している。

 

多階調位相型CGHの回折効率を計算しよう。図１から次のことが読み取れる:

$$\begin{align}
\text{各段の幅:}\; \Delta x’ &= \frac{p}{s}\\
\text{各段の位相差:}\; \Delta\phi &= \frac{2\pi l}{s}\\
\text{各段の位相値:}\; \phi_k &= -\pi l + \frac{\Delta\phi}{2}(2k+1)\\
&= \frac{\pi l}{s}( 2k-(s-1) ) \quad (k = 0, 1, 2, \dots , s-1)\\
\text{各段の範囲:}\; -\frac{p}{2}&+k\Delta x’ \leq x’ \leq -\frac{p}{2}+(k+1)\Delta x’\\
\Leftrightarrow -\frac{p}{2}&+\frac{kp}{s} \leq x’ \leq -\frac{p}{2}+\frac{(k+1)p}{s} \quad (k = 0, 1, 2, \dots , s-1)
\end{align}$$

従って、開口面での複素振幅\(A(x’)\)は次のように表せる:

$$A(x’) = e^{i\phi_k} = e^{i\frac{\pi l}{s}( 2k-(s-1) )}$$

ただし、\(x’\)は以下の範囲である。

$$-\frac{p}{2}+\frac{kp}{s} \leq x’ \leq -\frac{p}{2}+\frac{(k+1)p}{s} \quad (k = 0, 1, 2, \dots , s-1)$$

開口関数\(A(x’)\)の1周期分を\(-\frac{1}{2}p \sim \frac{1}{2}p\)と取り、これまで同様にこの範囲でフーリエ級数展開を計算して、各係数\(C_m\)とその絶対値の2乗\(|C_m|^2\)を求めたい。これまでは計算の詳細は割愛してきたが、今回は計算過程も紹介しよう。

$$C_m = \frac{1}{p} \int_{-\frac{1}{2}p}^{\frac{1}{2}p} A(x’) \, e^{-i\frac{2\pi m}{p}x’} \, dx’$$

開口関数\(A(x’)\)の区間に合わせて、積分区間を分割すると次のようになる

$$= \frac{1}{p} \sum_{k=0}^{s-1} \int_{-\frac{1}{2}p+k\Delta x’}^{-\frac{1}{2}p+(k+1)\Delta x’} A(x’) e^{-i \frac{2\pi m}{p}x’} dx’$$

$$= \frac{1}{p} \sum_{k=0}^{s-1} \int_{-\frac{1}{2}p+k\Delta x’}^{-\frac{1}{2}p+(k+1)\Delta x’} e^{i \frac{\pi l}{s} ( 2k – (s-1) )} e^{-i \frac{2\pi m}{p}x’} dx’$$

各積分区間内では\(A(x’)=e^{i \frac{\pi l}{s} ( 2k – (s-1) )}\)は定数なので、積分の外に出すことができる

$$= \frac{1}{p} \sum_{k=0}^{s-1} e^{i \frac{\pi l}{s} ( 2k – (s-1) )} \int_{-\frac{1}{2}p+k\Delta x’}^{-\frac{1}{2}p+(k+1)\Delta x’} e^{-i \frac{2\pi m}{p}x’} dx’$$

$$= \frac{1}{p} \sum_{k=0}^{s-1} e^{i \frac{\pi l}{s} ( 2k – (s-1) )} \left[ \frac{e^{-i\frac{2\pi m}{p}x’}}{-i\frac{2\pi m}{p}} \right]_{x’=-\frac{1}{2}p+k\Delta x’}^{x’=-\frac{1}{2}p+(k+1)\Delta x’}$$

$$= \sum_{k=0}^{s-1} e^{i \frac{\pi l}{s} (2k-(s-1))} \frac{i}{2\pi m} e^{-i \frac{2\pi m}{p}(-\frac{1}{2}p+k\Delta x’)} \left( e^{-i \frac{2\pi m}{p}\Delta x’} -1 \right)$$

ここで、最後の括弧内でオイラーの公式を用いて\(\sin\)を作るように式変形し、整理すると次の形になる

$$= \frac{1}{\pi m} e^{-i\pi\frac{s-1}{s}l} e^{i\pi m} e^{-i \pi \frac{m}{s}} \sin\left(\frac{\pi m}{s}\right) \sum_{k=0}^{s-1} e^{i\pi\frac{2kl}{s}} e^{-i\pi \frac{2mk}{s}}$$

$$= e^{i\pi\frac{s-1}{s}(m-l)} \frac{1}{s} \mathrm{sinc}\left(\frac{\pi m}{s}\right) \sum_{k=0}^{s-1} e^{2\pi i \frac{k}{s} (l-m)}$$

ただし、\(\mathrm{sinc}\,x=\frac{\sin x}{x}\)で定義される。

和\(\Sigma\)の部分に注目すると、等比級数の和を用いることで、以下であることが分かる。

$$\sum_{k=0}^{s-1} e^{2\pi i \frac{k}{s} (l-m)} =
\begin{cases}
\frac{1-e^{2\pi i (l-m)}}{1-e^{2\pi i \frac{l-m}{s}}} = e^{-i\pi\frac{s-1}{s}(m-l)}\, \frac{\sin(\pi(l-m))}{\sin(\pi\frac{l-m}{s})} & l\neq m\\
s & l=m
\end{cases}$$

これらを用いて整理すると、次のようになる。

$$C_m =
\begin{cases}
\frac{1}{s}\mathrm{sinc}\left(\frac{\pi m}{s}\right) \frac{\sin(\pi(l-m))}{\sin(\pi \frac{l-m}{s})} & l \neq m\\
\mathrm{sinc}\left(\frac{\pi m}{s}\right) & l=m
\end{cases}$$

ここで、\(l\rightarrow m\)の極限を取ると、\(l\neq m\)の式はロピタルの定理により\(l=m\)の式に一致することが分かる。そこで、1つにまとめて次のように書く。

$$C_m = \frac{1}{s}\,\mathrm{sinc}\left(\frac{\pi m}{s}\right) \frac{\sin(\pi(l-m))}{\sin(\pi \frac{l-m}{s})}$$

これが得られたフーリエ級数展開の各係数\(C_m\)である。これを2乗することで次数\(m\)の回折効率の式

$$|C_m|^2 = \frac{1}{s^2} \,\mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\pi m}{s} \right) \left[ \frac{\sin(\pi(l-m))}{\sin(\pi \frac{l-m}{s})} \right]^2$$

が得られる。次回はこの表式を使って、多階調位相型CGHおよび空間位相変調器(SLM)の回折効率の振る舞いを見てみよう。