CGHを理解する：CGHの回折効率（３）

本シリーズの記事はこちらから：
CGHを理解する：回折効率の計算原理
CGHを理解する：CGHの回折効率（１）
CGHを理解する：CGHの回折効率（２）

バイナリ振幅型CGHに比べてより高い回折効率が必要な場合は、バイナリ位相型CGHという選択肢がある。これは、CGH上で位相を\((0, \pi)\)の2値で変調するものである。振幅透過率の言い方で言えば、透過振幅を\((1, -1)\)に変調すると言うことである。duty比を\((\text{位相}0):(\text{位相}\pi)=t:1-t\) (\(0 \leq t \leq 1\)) としたとき、バイナリ位相型CGHの開口関数\(A(x’)\)は次のようになる。

 

図１：1次元バイナリ位相型グレーティングの開口面での複素振幅\(A(x’)\)、duty比\(t:1-t\)

 

この開口関数\(A(x’)\)の1周期を\(-\frac{1}{2}p \sim \frac{1}{2}p\)と取り、同様にこの範囲でフーリエ級数展開を計算すると、各係数\(C_{m}\)とその絶対値の2乗\(|C_m|^2\)は次のようになる。

$$C_m = \begin{cases}
2t-1 & m=0\\
\frac{2 (-1)^m}{\pi m} e^{i \pi m t}\sin(\pi m t) & m = \pm1, \pm2, \pm3, \dots
\end{cases}$$

$$|C_m|^2 = \begin{cases}
(2t-1)^2 & m=0\\
\frac{4}{\pi^2 m^2} \sin^2 (\pi m t) & m = \pm1, \pm2, \pm3, \dots
\end{cases}$$

興味深いのは、\(m\neq0\)の場合、バイナリ位相型CGHの回折効率はバイナリ振幅型CGHのちょうど4倍となっている点だ。この物理的解釈については、是非考えてみてもらいたい。機会があれば、また別の記事で触れようと思う。

例えば、duty比\(1:1\) (\(t=0.5\))で次数\(m=0,1,2,3\)に対して、バイナリ位相型CGHの回折効率をグラフに描くと次のようになる:

 

図２: 0、1、2、3次光の回折効率

 

1次光の回折効率が\(40.5\%\)程まで高くなった。2次光以上の回折効率も全てバイナリ振幅型CGHに対して4倍になっている。

注目すべきは、0次光の回折効率が\(t=0, 1\)では1で、\(t=0.5\)では0となっている点だ。\(t=0, 1\)のときは、開口全体が一様に位相変調するため、CGHが単なる平面のガラス板のように振る舞い、0次光のみ回折効率が100%となるのは理解しやすいだろう。一方、\(t=0.5\)のときは、CGHの隣り合う領域の位相差がちょうど\(\pi\)となっているため、光波の山と谷が打ち消し合うようになり、結果的に0次光の回折効率が0となるのだ。0次光が出ないということは、迷光が発生しにくいため大きな利点である。

バイナリ位相型CGHによって、1次光の回折効率は40.5%まで上昇したが、これでもまだ足りない場合は、多階調位相型CGH（キノフォーム・ブレーズド・エッシェル）が必要となる。これは次回に解説しよう。