Computer Generated Hologram（計算機生成ホログラム、CGH)は、光の回折・干渉の効果を使い、任意の方向に光を飛ばす（波面を作る）ことが可能な光学素子である。CGHをはじめとする回折光学素子に入射した光エネルギーのうち、目的の出射光になる割合を「回折効率」 と呼ぶが、今回は前回の記事「CGHを理解する：CGHの回折効率（１）」につづき、具体的に回折効率を計算をしてみよう。
本記事を読み進める前に、ぜひCGHを理解する：回折効率の計算原理およびCGHを理解する：CGHの回折効率（１）を一読いただきたい。
一般のduty比（\(1:1\)以外）の場合のバイナリ振幅型CGHの回折効率を求めてみよう。duty比を\(\text{(透過)}:\text{(遮蔽)}=t:1-t（0 \leq t \leq 1）\)としたとき、開口関数\(A(x’)\)は次のようになる。
図１：1次元バイナリ振幅型グレーティングの開口面での複素振幅\(A(x’)\)（duty比\(t:1-t（0 \leq t \leq 1）\)）
この開口関数\(A(x’)\)の1周期を\(-\frac{1}{2}p \sim \frac{1}{2}p\)と取り、同様にこの範囲でフーリエ級数展開を計算すると、各係数\(C_{m}\)とその絶対値の2乗\(|C_m|^2\)は次のようになる。
\begin{align}
C_m &= \begin{cases}
t & m=0\\
\frac{i}{2\pi m} \left( e^{-i \pi m} – e^{-i \pi m (1-2t)} \right) & m = \pm1, \pm2, \pm3, \dots
\end{cases}\\
|C_m|^2 &= \begin{cases}
t^2 & m=0\\
\frac{1}{2\pi^2 m^2} \left\{ 1 – \cos \left( 2 \pi m t \right) \right\} & m = \pm1, \pm2, \pm3, \dots
\end{cases}
\end{align}
この式において、\(t=0.5\)とすると、duty比\(1:1\)の場合の結果を再現する。
例えば、\(m=0,1,2,3\)に対して、回折効率のグラフを描くと、図２のようになる。
図２：0,1,2,3次光の回折効率
図２は0次光だけ回折効率が大きいため少しグラフが見にくい。0次光を除いてグラフを描くと次のようになる。
図３：1,2,3次光の回折効率
例えば、もしCGHで2次光を利用したい場合は、duty比を\(0.25:0.75 = 1:3\)とすれば、2次光の回折効率を\(2.53\%\)とすることができる。
大学院在学中は素粒子物理学を専攻。趣味の天体写真も物理理論に裏付けられた解析方法を行っており、 アマチュア天文家の間で蔓延している都市伝説は一切信じない。赤道儀マニアでアマチュア天文機器にやたら詳しい。 計算機ホログラム（CGH）や干渉計などの高度な物理計算を軽々とこなす。 光学・物理学に関連する原理や数学的理解に関する記事を担当。